Eintrag weiter verarbeiten
Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials
Gespeichert in:
| Zeitschriftentitel: | Mathematics of Computation |
|---|---|
| Personen und Körperschaften: | |
| In: | Mathematics of Computation, 75, 2005, 254, S. 743-766 |
| Format: | E-Article |
| Sprache: | Englisch |
| veröffentlicht: |
American Mathematical Society (AMS)
|
| Schlagwörter: |
| author_facet |
Jung, H. Jung, H. |
|---|---|
| author |
Jung, H. |
| spellingShingle |
Jung, H. Mathematics of Computation Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials Applied Mathematics Computational Mathematics Algebra and Number Theory |
| author_sort |
jung, h. |
| spelling |
Jung, H. 0025-5718 1088-6842 American Mathematical Society (AMS) Applied Mathematics Computational Mathematics Algebra and Number Theory http://dx.doi.org/10.1090/s0025-5718-05-01795-3 <p>Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis colon equals left-parenthesis 1 minus x squared right-parenthesis Superscript lamda minus 1 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">w_{\lambda }(x):=(1-x^2)^{\lambda -1/2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P_n^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the ultraspherical polynomials with respect to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">w_{\lambda }(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then we denote by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the Stieltjes polynomials with respect to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">w_{\lambda }(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfying <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row integral Subscript negative 1 Superscript 1 Baseline w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis x Superscript m d x StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column equals 0 comma 2nd Column a m p semicolon 0 less-than-or-equal-to m greater-than n plus 1 comma 2nd Row 1st Column not-equals 0 comma 2nd Column a m p semicolon m equals n plus 1 period EndLayout EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable columnalign="right center left" rowspacing="3pt" columnspacing="0 thickmathspace" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>≠<!-- ≠ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1.</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true" /> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{eqnarray*} \int _{-1}^1 w_{\lambda }(x) P_n^{(\lambda )}(x)E_{n+1}^{(\lambda )}(x) x^m dx \begin {cases} =0, & 0 \le m > n+1,\\ \neq 0, & m=n+1. \end{cases} \end{eqnarray*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> In this paper, we show uniform convergence of the Hermite–Fejér interpolation polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript n plus 1 Baseline left-bracket dot right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_{n+1}[\cdot ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H Subscript 2 n plus 1 Baseline left-bracket dot right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal H}_{2n+1}[\cdot ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> based on the zeros of the Stieltjes polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the product <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}P_n^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \le \lambda \le 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \le \lambda \le 1/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, respectively. To prove these results, we prove that the Lebesgue constants of Hermite–Fejér interpolation operators for the Stieltjes polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the product <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}P_n^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are optimal, that is, the Lebesgue constants <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar upper H Subscript n plus 1 Baseline double-vertical-bar Subscript normal infinity Baseline left-parenthesis 0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\|H_{n+1}\|_{\infty }(0 \le \lambda \le 1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar script upper H Subscript 2 n plus 1 Baseline double-vertical-bar Subscript normal infinity Baseline left-parenthesis 0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1 slash 2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\|{\mathcal H}_{2n+1}\|_{\infty } (0 \le \lambda \le 1/2)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> have optimal order <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O left-parenthesis 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">O(1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In the case of the Hermite–Fejér interpolation polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H Subscript 2 n plus 1 Baseline left-bracket dot right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal H}_{2n+1}[\cdot ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 slash 2 greater-than lamda less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1/2 > \lambda \le 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we prove weighted uniform convergence. Moreover, we give some convergence theorems of Hermite–Fejér and Hermite interpolation polynomials for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \le \lambda \le 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in weighted <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript p"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L_p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> norms.</p> Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials Mathematics of Computation |
| doi_str_mv |
10.1090/s0025-5718-05-01795-3 |
| facet_avail |
Online Free |
| finc_class_facet |
Mathematik |
| format |
ElectronicArticle |
| fullrecord |
blob:ai-49-aHR0cDovL2R4LmRvaS5vcmcvMTAuMTA5MC9zMDAyNS01NzE4LTA1LTAxNzk1LTM |
| id |
ai-49-aHR0cDovL2R4LmRvaS5vcmcvMTAuMTA5MC9zMDAyNS01NzE4LTA1LTAxNzk1LTM |
| institution |
DE-Gla1 DE-Zi4 DE-15 DE-Pl11 DE-Rs1 DE-105 DE-14 DE-Ch1 DE-L229 DE-D275 DE-Bn3 DE-Brt1 DE-Zwi2 DE-D161 |
| imprint |
American Mathematical Society (AMS), 2005 |
| imprint_str_mv |
American Mathematical Society (AMS), 2005 |
| issn |
0025-5718 1088-6842 |
| issn_str_mv |
0025-5718 1088-6842 |
| language |
English |
| mega_collection |
American Mathematical Society (AMS) (CrossRef) |
| match_str |
jung2005hermiteandhermitefejerinterpolationforstieltjespolynomials |
| publishDateSort |
2005 |
| publisher |
American Mathematical Society (AMS) |
| recordtype |
ai |
| record_format |
ai |
| series |
Mathematics of Computation |
| source_id |
49 |
| title |
Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials |
| title_unstemmed |
Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials |
| title_full |
Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials |
| title_fullStr |
Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials |
| title_full_unstemmed |
Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials |
| title_short |
Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials |
| title_sort |
hermite and hermite–fejér interpolation for stieltjes polynomials |
| topic |
Applied Mathematics Computational Mathematics Algebra and Number Theory |
| url |
http://dx.doi.org/10.1090/s0025-5718-05-01795-3 |
| publishDate |
2005 |
| physical |
743-766 |
| description |
<p>Let <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis colon equals left-parenthesis 1 minus x squared right-parenthesis Superscript lamda minus 1 slash 2">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>w</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>:=</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo>/</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">w_{\lambda }(x):=(1-x^2)^{\lambda -1/2}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:msubsup>
<mml:mi>P</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">P_n^{(\lambda )}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> be the ultraspherical polynomials with respect to <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>w</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">w_{\lambda }(x)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>. Then we denote by <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:msubsup>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> the Stieltjes polynomials with respect to <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>w</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">w_{\lambda }(x)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> satisfying <disp-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row integral Subscript negative 1 Superscript 1 Baseline w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis x Superscript m d x StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column equals 0 comma 2nd Column a m p semicolon 0 less-than-or-equal-to m greater-than n plus 1 comma 2nd Row 1st Column not-equals 0 comma 2nd Column a m p semicolon m equals n plus 1 period EndLayout EndLayout">
<mml:semantics>
<mml:mtable columnalign="right center left" rowspacing="3pt" columnspacing="0 thickmathspace" side="left" displaystyle="true">
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:msubsup>
<mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mi>w</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi>P</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mi>d</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false">
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mtd>
<mml:mtd>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mo>≠<!-- ≠ --></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mtd>
<mml:mtd>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1.</mml:mn>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
<mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true" />
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{eqnarray*} \int _{-1}^1 w_{\lambda }(x) P_n^{(\lambda )}(x)E_{n+1}^{(\lambda )}(x) x^m dx \begin {cases} =0, & 0 \le m > n+1,\\ \neq 0, & m=n+1. \end{cases} \end{eqnarray*}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</disp-formula>
In this paper, we show uniform convergence of the Hermite–Fejér interpolation polynomials <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript n plus 1 Baseline left-bracket dot right-bracket">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>H</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">H_{n+1}[\cdot ]</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H Subscript 2 n plus 1 Baseline left-bracket dot right-bracket">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal H}_{2n+1}[\cdot ]</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> based on the zeros of the Stieltjes polynomials <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:msubsup>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> and the product <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mi>P</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}P_n^{(\lambda )}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \le \lambda \le 1</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1 slash 2">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo>/</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \le \lambda \le 1/2</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, respectively. To prove these results, we prove that the Lebesgue constants of Hermite–Fejér interpolation operators for the Stieltjes polynomials <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:msubsup>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> and the product <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mi>P</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}P_n^{(\lambda )}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> are optimal, that is, the Lebesgue constants <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar upper H Subscript n plus 1 Baseline double-vertical-bar Subscript normal infinity Baseline left-parenthesis 0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1 right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>H</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\|H_{n+1}\|_{\infty }(0 \le \lambda \le 1)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar script upper H Subscript 2 n plus 1 Baseline double-vertical-bar Subscript normal infinity Baseline left-parenthesis 0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1 slash 2 right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo>/</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\|{\mathcal H}_{2n+1}\|_{\infty } (0 \le \lambda \le 1/2)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> have optimal order <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O left-parenthesis 1 right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">O(1)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>. In the case of the Hermite–Fejér interpolation polynomials <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H Subscript 2 n plus 1 Baseline left-bracket dot right-bracket">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal H}_{2n+1}[\cdot ]</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 slash 2 greater-than lamda less-than-or-equal-to 1">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo>/</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">1/2 > \lambda \le 1</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, we prove weighted uniform convergence. Moreover, we give some convergence theorems of Hermite–Fejér and Hermite interpolation polynomials for <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \le \lambda \le 1</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> in weighted <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript p">
<mml:semantics>
<mml:msub>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">L_p</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> norms.</p> |
| container_issue |
254 |
| container_start_page |
743 |
| container_title |
Mathematics of Computation |
| container_volume |
75 |
| format_de105 |
Article, E-Article |
| format_de14 |
Article, E-Article |
| format_de15 |
Article, E-Article |
| format_de520 |
Article, E-Article |
| format_de540 |
Article, E-Article |
| format_dech1 |
Article, E-Article |
| format_ded117 |
Article, E-Article |
| format_degla1 |
E-Article |
| format_del152 |
Buch |
| format_del189 |
Article, E-Article |
| format_dezi4 |
Article |
| format_dezwi2 |
Article, E-Article |
| format_finc |
Article, E-Article |
| format_nrw |
Article, E-Article |
| _version_ |
1792322133842460679 |
| geogr_code |
not assigned |
| last_indexed |
2024-03-01T11:13:03.658Z |
| geogr_code_person |
not assigned |
| openURL |
url_ver=Z39.88-2004&ctx_ver=Z39.88-2004&ctx_enc=info%3Aofi%2Fenc%3AUTF-8&rfr_id=info%3Asid%2Fvufind.svn.sourceforge.net%3Agenerator&rft.title=Hermite+and+Hermite%E2%80%93Fej%C3%A9r+interpolation+for+Stieltjes+polynomials&rft.date=2005-11-03&genre=article&issn=1088-6842&volume=75&issue=254&spage=743&epage=766&pages=743-766&jtitle=Mathematics+of+Computation&atitle=Hermite+and+Hermite%E2%80%93Fej%C3%A9r+interpolation+for+Stieltjes+polynomials&aulast=Jung&aufirst=H.&rft_id=info%3Adoi%2F10.1090%2Fs0025-5718-05-01795-3&rft.language%5B0%5D=eng |
| SOLR | |
| _version_ | 1792322133842460679 |
| author | Jung, H. |
| author_facet | Jung, H., Jung, H. |
| author_sort | jung, h. |
| container_issue | 254 |
| container_start_page | 743 |
| container_title | Mathematics of Computation |
| container_volume | 75 |
| description | <p>Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis colon equals left-parenthesis 1 minus x squared right-parenthesis Superscript lamda minus 1 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">w_{\lambda }(x):=(1-x^2)^{\lambda -1/2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P_n^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the ultraspherical polynomials with respect to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">w_{\lambda }(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then we denote by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the Stieltjes polynomials with respect to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">w_{\lambda }(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfying <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row integral Subscript negative 1 Superscript 1 Baseline w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis x Superscript m d x StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column equals 0 comma 2nd Column a m p semicolon 0 less-than-or-equal-to m greater-than n plus 1 comma 2nd Row 1st Column not-equals 0 comma 2nd Column a m p semicolon m equals n plus 1 period EndLayout EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable columnalign="right center left" rowspacing="3pt" columnspacing="0 thickmathspace" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>≠<!-- ≠ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1.</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true" /> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{eqnarray*} \int _{-1}^1 w_{\lambda }(x) P_n^{(\lambda )}(x)E_{n+1}^{(\lambda )}(x) x^m dx \begin {cases} =0, & 0 \le m > n+1,\\ \neq 0, & m=n+1. \end{cases} \end{eqnarray*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> In this paper, we show uniform convergence of the Hermite–Fejér interpolation polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript n plus 1 Baseline left-bracket dot right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_{n+1}[\cdot ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H Subscript 2 n plus 1 Baseline left-bracket dot right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal H}_{2n+1}[\cdot ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> based on the zeros of the Stieltjes polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the product <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}P_n^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \le \lambda \le 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \le \lambda \le 1/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, respectively. To prove these results, we prove that the Lebesgue constants of Hermite–Fejér interpolation operators for the Stieltjes polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the product <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}P_n^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are optimal, that is, the Lebesgue constants <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar upper H Subscript n plus 1 Baseline double-vertical-bar Subscript normal infinity Baseline left-parenthesis 0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\|H_{n+1}\|_{\infty }(0 \le \lambda \le 1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar script upper H Subscript 2 n plus 1 Baseline double-vertical-bar Subscript normal infinity Baseline left-parenthesis 0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1 slash 2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\|{\mathcal H}_{2n+1}\|_{\infty } (0 \le \lambda \le 1/2)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> have optimal order <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O left-parenthesis 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">O(1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In the case of the Hermite–Fejér interpolation polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H Subscript 2 n plus 1 Baseline left-bracket dot right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal H}_{2n+1}[\cdot ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 slash 2 greater-than lamda less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1/2 > \lambda \le 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we prove weighted uniform convergence. Moreover, we give some convergence theorems of Hermite–Fejér and Hermite interpolation polynomials for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \le \lambda \le 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in weighted <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript p"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L_p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> norms.</p> |
| doi_str_mv | 10.1090/s0025-5718-05-01795-3 |
| facet_avail | Online, Free |
| finc_class_facet | Mathematik |
| format | ElectronicArticle |
| format_de105 | Article, E-Article |
| format_de14 | Article, E-Article |
| format_de15 | Article, E-Article |
| format_de520 | Article, E-Article |
| format_de540 | Article, E-Article |
| format_dech1 | Article, E-Article |
| format_ded117 | Article, E-Article |
| format_degla1 | E-Article |
| format_del152 | Buch |
| format_del189 | Article, E-Article |
| format_dezi4 | Article |
| format_dezwi2 | Article, E-Article |
| format_finc | Article, E-Article |
| format_nrw | Article, E-Article |
| geogr_code | not assigned |
| geogr_code_person | not assigned |
| id | ai-49-aHR0cDovL2R4LmRvaS5vcmcvMTAuMTA5MC9zMDAyNS01NzE4LTA1LTAxNzk1LTM |
| imprint | American Mathematical Society (AMS), 2005 |
| imprint_str_mv | American Mathematical Society (AMS), 2005 |
| institution | DE-Gla1, DE-Zi4, DE-15, DE-Pl11, DE-Rs1, DE-105, DE-14, DE-Ch1, DE-L229, DE-D275, DE-Bn3, DE-Brt1, DE-Zwi2, DE-D161 |
| issn | 0025-5718, 1088-6842 |
| issn_str_mv | 0025-5718, 1088-6842 |
| language | English |
| last_indexed | 2024-03-01T11:13:03.658Z |
| match_str | jung2005hermiteandhermitefejerinterpolationforstieltjespolynomials |
| mega_collection | American Mathematical Society (AMS) (CrossRef) |
| physical | 743-766 |
| publishDate | 2005 |
| publishDateSort | 2005 |
| publisher | American Mathematical Society (AMS) |
| record_format | ai |
| recordtype | ai |
| series | Mathematics of Computation |
| source_id | 49 |
| spelling | Jung, H. 0025-5718 1088-6842 American Mathematical Society (AMS) Applied Mathematics Computational Mathematics Algebra and Number Theory http://dx.doi.org/10.1090/s0025-5718-05-01795-3 <p>Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis colon equals left-parenthesis 1 minus x squared right-parenthesis Superscript lamda minus 1 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">w_{\lambda }(x):=(1-x^2)^{\lambda -1/2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P_n^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the ultraspherical polynomials with respect to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">w_{\lambda }(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then we denote by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the Stieltjes polynomials with respect to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">w_{\lambda }(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfying <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row integral Subscript negative 1 Superscript 1 Baseline w Subscript lamda Baseline left-parenthesis x right-parenthesis upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis x Superscript m d x StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column equals 0 comma 2nd Column a m p semicolon 0 less-than-or-equal-to m greater-than n plus 1 comma 2nd Row 1st Column not-equals 0 comma 2nd Column a m p semicolon m equals n plus 1 period EndLayout EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable columnalign="right center left" rowspacing="3pt" columnspacing="0 thickmathspace" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>≠<!-- ≠ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1.</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true" /> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{eqnarray*} \int _{-1}^1 w_{\lambda }(x) P_n^{(\lambda )}(x)E_{n+1}^{(\lambda )}(x) x^m dx \begin {cases} =0, & 0 \le m > n+1,\\ \neq 0, & m=n+1. \end{cases} \end{eqnarray*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> In this paper, we show uniform convergence of the Hermite–Fejér interpolation polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript n plus 1 Baseline left-bracket dot right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_{n+1}[\cdot ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H Subscript 2 n plus 1 Baseline left-bracket dot right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal H}_{2n+1}[\cdot ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> based on the zeros of the Stieltjes polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the product <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}P_n^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \le \lambda \le 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \le \lambda \le 1/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, respectively. To prove these results, we prove that the Lebesgue constants of Hermite–Fejér interpolation operators for the Stieltjes polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the product <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript n plus 1 Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis Baseline upper P Subscript n Superscript left-parenthesis lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{n+1}^{(\lambda )}P_n^{(\lambda )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are optimal, that is, the Lebesgue constants <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar upper H Subscript n plus 1 Baseline double-vertical-bar Subscript normal infinity Baseline left-parenthesis 0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\|H_{n+1}\|_{\infty }(0 \le \lambda \le 1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar script upper H Subscript 2 n plus 1 Baseline double-vertical-bar Subscript normal infinity Baseline left-parenthesis 0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1 slash 2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\|{\mathcal H}_{2n+1}\|_{\infty } (0 \le \lambda \le 1/2)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> have optimal order <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O left-parenthesis 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">O(1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In the case of the Hermite–Fejér interpolation polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H Subscript 2 n plus 1 Baseline left-bracket dot right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal H}_{2n+1}[\cdot ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 slash 2 greater-than lamda less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1/2 > \lambda \le 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we prove weighted uniform convergence. Moreover, we give some convergence theorems of Hermite–Fejér and Hermite interpolation polynomials for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to lamda less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \le \lambda \le 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in weighted <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript p"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L_p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> norms.</p> Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials Mathematics of Computation |
| spellingShingle | Jung, H., Mathematics of Computation, Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials, Applied Mathematics, Computational Mathematics, Algebra and Number Theory |
| title | Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials |
| title_full | Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials |
| title_fullStr | Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials |
| title_full_unstemmed | Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials |
| title_short | Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials |
| title_sort | hermite and hermite–fejér interpolation for stieltjes polynomials |
| title_unstemmed | Hermite and Hermite–Fejér interpolation for Stieltjes polynomials |
| topic | Applied Mathematics, Computational Mathematics, Algebra and Number Theory |
| url | http://dx.doi.org/10.1090/s0025-5718-05-01795-3 |