Eintrag weiter verarbeiten
Verfügbar über Online-Ressource

On the metrical theory of continued fractions

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Zeitschriftentitel: Proceedings of the American Mathematical Society
Personen und Körperschaften: Nair, R.
In: Proceedings of the American Mathematical Society, 120, 1994, 4, S. 1041-1046
Format: E-Article
Sprache: Englisch
veröffentlicht:
American Mathematical Society (AMS)
Schlagwörter:
Applied Mathematics
General Mathematics
author_facet Nair, R.
Nair, R.
author Nair, R.
spellingShingle Nair, R.
Proceedings of the American Mathematical Society
On the metrical theory of continued fractions
Applied Mathematics
General Mathematics
author_sort nair, r.
spelling Nair, R. 0002-9939 1088-6826 American Mathematical Society (AMS) Applied Mathematics General Mathematics http://dx.doi.org/10.1090/s0002-9939-1994-1176073-5 <p>Suppose <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{b_k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes either <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi (k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis p Subscript k Baseline right-parenthesis left-parenthesis k equals 1 comma 2 comma ellipsis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi ({p_k})\;(k = 1,2, \ldots )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where the polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> maps <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{p_k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>th rational prime. Suppose <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis c Subscript k Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Subscript k equals 1 Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({c_k}(x))_{k = 1}^\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes the sequences of partial quotients of the continued function expansion of the real number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then for certain functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F colon double-struck upper R Subscript greater-than-or-slanted-equals 0 Baseline right-arrow double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F:{\mathbb {R}_{ \geqslant 0}} \to \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we show that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript upper N right-arrow normal infinity Endscripts upper F Superscript negative 1 Baseline left-bracket StartFraction upper F left-parenthesis c Subscript b 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis plus midline-horizontal-ellipsis plus upper F left-parenthesis c Subscript b Sub Subscript k Subscript Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Over upper N EndFraction right-bracket equals upper F Superscript negative 1 Baseline left-bracket StartFraction 1 Over left-parenthesis log 2 right-parenthesis EndFraction integral Subscript 0 Superscript 1 Baseline StartFraction upper F left-parenthesis c 1 left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Over 1 plus x EndFraction d x right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lim \limits _{N \to \infty } {F^{ - 1}}\left [ {\frac {{F({c_{{b_1}}}(x)) + \cdots + F({c_{{b_k}}}(x))}} {N}} \right ] = {F^{ - 1}}\left [ {\frac {1} {{(\log 2)}}\int _0^1 {\frac {{F({c_1}(x))}} {{1 + x}}dx} } \right ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> almost everywhere with respect to Lebesgue measure. This result with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b Subscript k Baseline equals k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{b_k} = k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is classical and due to Ryll-Nardzewski.</p> On the metrical theory of continued fractions Proceedings of the American Mathematical Society
doi_str_mv 10.1090/s0002-9939-1994-1176073-5
facet_avail Online
Free
finc_class_facet Mathematik
format ElectronicArticle
fullrecord blob:ai-49-aHR0cDovL2R4LmRvaS5vcmcvMTAuMTA5MC9zMDAwMi05OTM5LTE5OTQtMTE3NjA3My01
id ai-49-aHR0cDovL2R4LmRvaS5vcmcvMTAuMTA5MC9zMDAwMi05OTM5LTE5OTQtMTE3NjA3My01
institution DE-Zwi2
DE-D161
DE-Gla1
DE-Zi4
DE-15
DE-Pl11
DE-Rs1
DE-105
DE-14
DE-Ch1
DE-L229
DE-D275
DE-Bn3
DE-Brt1
imprint American Mathematical Society (AMS), 1994
imprint_str_mv American Mathematical Society (AMS), 1994
issn 0002-9939
1088-6826
issn_str_mv 0002-9939
1088-6826
language English
mega_collection American Mathematical Society (AMS) (CrossRef)
match_str nair1994onthemetricaltheoryofcontinuedfractions
publishDateSort 1994
publisher American Mathematical Society (AMS)
recordtype ai
record_format ai
series Proceedings of the American Mathematical Society
source_id 49
title On the metrical theory of continued fractions
title_unstemmed On the metrical theory of continued fractions
title_full On the metrical theory of continued fractions
title_fullStr On the metrical theory of continued fractions
title_full_unstemmed On the metrical theory of continued fractions
title_short On the metrical theory of continued fractions
title_sort on the metrical theory of continued fractions
topic Applied Mathematics
General Mathematics
url http://dx.doi.org/10.1090/s0002-9939-1994-1176073-5
publishDate 1994
physical 1041-1046
description <p>Suppose <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{b_k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes either <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi (k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis p Subscript k Baseline right-parenthesis left-parenthesis k equals 1 comma 2 comma ellipsis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi ({p_k})\;(k = 1,2, \ldots )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where the polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> maps <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{p_k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>th rational prime. Suppose <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis c Subscript k Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Subscript k equals 1 Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({c_k}(x))_{k = 1}^\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes the sequences of partial quotients of the continued function expansion of the real number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then for certain functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F colon double-struck upper R Subscript greater-than-or-slanted-equals 0 Baseline right-arrow double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F:{\mathbb {R}_{ \geqslant 0}} \to \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we show that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript upper N right-arrow normal infinity Endscripts upper F Superscript negative 1 Baseline left-bracket StartFraction upper F left-parenthesis c Subscript b 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis plus midline-horizontal-ellipsis plus upper F left-parenthesis c Subscript b Sub Subscript k Subscript Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Over upper N EndFraction right-bracket equals upper F Superscript negative 1 Baseline left-bracket StartFraction 1 Over left-parenthesis log 2 right-parenthesis EndFraction integral Subscript 0 Superscript 1 Baseline StartFraction upper F left-parenthesis c 1 left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Over 1 plus x EndFraction d x right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lim \limits _{N \to \infty } {F^{ - 1}}\left [ {\frac {{F({c_{{b_1}}}(x)) + \cdots + F({c_{{b_k}}}(x))}} {N}} \right ] = {F^{ - 1}}\left [ {\frac {1} {{(\log 2)}}\int _0^1 {\frac {{F({c_1}(x))}} {{1 + x}}dx} } \right ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> almost everywhere with respect to Lebesgue measure. This result with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b Subscript k Baseline equals k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{b_k} = k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is classical and due to Ryll-Nardzewski.</p>
container_issue 4
container_start_page 1041
container_title Proceedings of the American Mathematical Society
container_volume 120
format_de105 Article, E-Article
format_de14 Article, E-Article
format_de15 Article, E-Article
format_de520 Article, E-Article
format_de540 Article, E-Article
format_dech1 Article, E-Article
format_ded117 Article, E-Article
format_degla1 E-Article
format_del152 Buch
format_del189 Article, E-Article
format_dezi4 Article
format_dezwi2 Article, E-Article
format_finc Article, E-Article
format_nrw Article, E-Article
_version_ 1792334183822000131
geogr_code not assigned
last_indexed 2024-03-01T14:24:36.954Z
geogr_code_person not assigned
openURL url_ver=Z39.88-2004&ctx_ver=Z39.88-2004&ctx_enc=info%3Aofi%2Fenc%3AUTF-8&rfr_id=info%3Asid%2Fvufind.svn.sourceforge.net%3Agenerator&rft.title=On+the+metrical+theory+of+continued+fractions&rft.date=1994-01-01&genre=article&issn=1088-6826&volume=120&issue=4&spage=1041&epage=1046&pages=1041-1046&jtitle=Proceedings+of+the+American+Mathematical+Society&atitle=On+the+metrical+theory+of+continued+fractions&aulast=Nair&aufirst=R.&rft_id=info%3Adoi%2F10.1090%2Fs0002-9939-1994-1176073-5&rft.language%5B0%5D=eng
SOLR
_version_ 1792334183822000131
author Nair, R.
author_facet Nair, R., Nair, R.
author_sort nair, r.
container_issue 4
container_start_page 1041
container_title Proceedings of the American Mathematical Society
container_volume 120
description <p>Suppose <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{b_k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes either <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi (k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis p Subscript k Baseline right-parenthesis left-parenthesis k equals 1 comma 2 comma ellipsis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi ({p_k})\;(k = 1,2, \ldots )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where the polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> maps <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{p_k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>th rational prime. Suppose <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis c Subscript k Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Subscript k equals 1 Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({c_k}(x))_{k = 1}^\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes the sequences of partial quotients of the continued function expansion of the real number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then for certain functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F colon double-struck upper R Subscript greater-than-or-slanted-equals 0 Baseline right-arrow double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F:{\mathbb {R}_{ \geqslant 0}} \to \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we show that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript upper N right-arrow normal infinity Endscripts upper F Superscript negative 1 Baseline left-bracket StartFraction upper F left-parenthesis c Subscript b 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis plus midline-horizontal-ellipsis plus upper F left-parenthesis c Subscript b Sub Subscript k Subscript Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Over upper N EndFraction right-bracket equals upper F Superscript negative 1 Baseline left-bracket StartFraction 1 Over left-parenthesis log 2 right-parenthesis EndFraction integral Subscript 0 Superscript 1 Baseline StartFraction upper F left-parenthesis c 1 left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Over 1 plus x EndFraction d x right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lim \limits _{N \to \infty } {F^{ - 1}}\left [ {\frac {{F({c_{{b_1}}}(x)) + \cdots + F({c_{{b_k}}}(x))}} {N}} \right ] = {F^{ - 1}}\left [ {\frac {1} {{(\log 2)}}\int _0^1 {\frac {{F({c_1}(x))}} {{1 + x}}dx} } \right ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> almost everywhere with respect to Lebesgue measure. This result with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b Subscript k Baseline equals k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{b_k} = k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is classical and due to Ryll-Nardzewski.</p>
doi_str_mv 10.1090/s0002-9939-1994-1176073-5
facet_avail Online, Free
finc_class_facet Mathematik
format ElectronicArticle
format_de105 Article, E-Article
format_de14 Article, E-Article
format_de15 Article, E-Article
format_de520 Article, E-Article
format_de540 Article, E-Article
format_dech1 Article, E-Article
format_ded117 Article, E-Article
format_degla1 E-Article
format_del152 Buch
format_del189 Article, E-Article
format_dezi4 Article
format_dezwi2 Article, E-Article
format_finc Article, E-Article
format_nrw Article, E-Article
geogr_code not assigned
geogr_code_person not assigned
id ai-49-aHR0cDovL2R4LmRvaS5vcmcvMTAuMTA5MC9zMDAwMi05OTM5LTE5OTQtMTE3NjA3My01
imprint American Mathematical Society (AMS), 1994
imprint_str_mv American Mathematical Society (AMS), 1994
institution DE-Zwi2, DE-D161, DE-Gla1, DE-Zi4, DE-15, DE-Pl11, DE-Rs1, DE-105, DE-14, DE-Ch1, DE-L229, DE-D275, DE-Bn3, DE-Brt1
issn 0002-9939, 1088-6826
issn_str_mv 0002-9939, 1088-6826
language English
last_indexed 2024-03-01T14:24:36.954Z
match_str nair1994onthemetricaltheoryofcontinuedfractions
mega_collection American Mathematical Society (AMS) (CrossRef)
physical 1041-1046
publishDate 1994
publishDateSort 1994
publisher American Mathematical Society (AMS)
record_format ai
recordtype ai
series Proceedings of the American Mathematical Society
source_id 49
spelling Nair, R. 0002-9939 1088-6826 American Mathematical Society (AMS) Applied Mathematics General Mathematics http://dx.doi.org/10.1090/s0002-9939-1994-1176073-5 <p>Suppose <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{b_k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes either <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi (k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis p Subscript k Baseline right-parenthesis left-parenthesis k equals 1 comma 2 comma ellipsis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi ({p_k})\;(k = 1,2, \ldots )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where the polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> maps <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{p_k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>th rational prime. Suppose <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis c Subscript k Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Subscript k equals 1 Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({c_k}(x))_{k = 1}^\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes the sequences of partial quotients of the continued function expansion of the real number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then for certain functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F colon double-struck upper R Subscript greater-than-or-slanted-equals 0 Baseline right-arrow double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F:{\mathbb {R}_{ \geqslant 0}} \to \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we show that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript upper N right-arrow normal infinity Endscripts upper F Superscript negative 1 Baseline left-bracket StartFraction upper F left-parenthesis c Subscript b 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis plus midline-horizontal-ellipsis plus upper F left-parenthesis c Subscript b Sub Subscript k Subscript Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Over upper N EndFraction right-bracket equals upper F Superscript negative 1 Baseline left-bracket StartFraction 1 Over left-parenthesis log 2 right-parenthesis EndFraction integral Subscript 0 Superscript 1 Baseline StartFraction upper F left-parenthesis c 1 left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Over 1 plus x EndFraction d x right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lim \limits _{N \to \infty } {F^{ - 1}}\left [ {\frac {{F({c_{{b_1}}}(x)) + \cdots + F({c_{{b_k}}}(x))}} {N}} \right ] = {F^{ - 1}}\left [ {\frac {1} {{(\log 2)}}\int _0^1 {\frac {{F({c_1}(x))}} {{1 + x}}dx} } \right ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> almost everywhere with respect to Lebesgue measure. This result with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b Subscript k Baseline equals k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{b_k} = k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is classical and due to Ryll-Nardzewski.</p> On the metrical theory of continued fractions Proceedings of the American Mathematical Society
spellingShingle Nair, R., Proceedings of the American Mathematical Society, On the metrical theory of continued fractions, Applied Mathematics, General Mathematics
title On the metrical theory of continued fractions
title_full On the metrical theory of continued fractions
title_fullStr On the metrical theory of continued fractions
title_full_unstemmed On the metrical theory of continued fractions
title_short On the metrical theory of continued fractions
title_sort on the metrical theory of continued fractions
title_unstemmed On the metrical theory of continued fractions
topic Applied Mathematics, General Mathematics
url http://dx.doi.org/10.1090/s0002-9939-1994-1176073-5