Eintrag weiter verarbeiten
On the metrical theory of continued fractions
Gespeichert in:
| Zeitschriftentitel: | Proceedings of the American Mathematical Society |
|---|---|
| Personen und Körperschaften: | |
| In: | Proceedings of the American Mathematical Society, 120, 1994, 4, S. 1041-1046 |
| Format: | E-Article |
| Sprache: | Englisch |
| veröffentlicht: |
American Mathematical Society (AMS)
|
| Schlagwörter: |
| Zusammenfassung: | <p>Suppose <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{b_k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes either <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi (k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis p Subscript k Baseline right-parenthesis left-parenthesis k equals 1 comma 2 comma ellipsis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi ({p_k})\;(k = 1,2, \ldots )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where the polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> maps <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{p_k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>th rational prime. Suppose <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis c Subscript k Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Subscript k equals 1 Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({c_k}(x))_{k = 1}^\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes the sequences of partial quotients of the continued function expansion of the real number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then for certain functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F colon double-struck upper R Subscript greater-than-or-slanted-equals 0 Baseline right-arrow double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F:{\mathbb {R}_{ \geqslant 0}} \to \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we show that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript upper N right-arrow normal infinity Endscripts upper F Superscript negative 1 Baseline left-bracket StartFraction upper F left-parenthesis c Subscript b 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis plus midline-horizontal-ellipsis plus upper F left-parenthesis c Subscript b Sub Subscript k Subscript Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Over upper N EndFraction right-bracket equals upper F Superscript negative 1 Baseline left-bracket StartFraction 1 Over left-parenthesis log 2 right-parenthesis EndFraction integral Subscript 0 Superscript 1 Baseline StartFraction upper F left-parenthesis c 1 left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Over 1 plus x EndFraction d x right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo><!-- --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lim \limits _{N \to \infty } {F^{ - 1}}\left [ {\frac {{F({c_{{b_1}}}(x)) + \cdots + F({c_{{b_k}}}(x))}} {N}} \right ] = {F^{ - 1}}\left [ {\frac {1} {{(\log 2)}}\int _0^1 {\frac {{F({c_1}(x))}} {{1 + x}}dx} } \right ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> almost everywhere with respect to Lebesgue measure. This result with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b Subscript k Baseline equals k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{b_k} = k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is classical and due to Ryll-Nardzewski.</p> |
|---|---|
| Umfang: | 1041-1046 |
| ISSN: |
0002-9939
1088-6826 |
| DOI: | 10.1090/s0002-9939-1994-1176073-5 |